Manejando el dinero

Para poder apostar bien en un casino, es importante tener unos cuantos conceptos claros a la hora de  manejar el capital.

 

Unidad de apuesta

Es la mínima apuesta que realizará el jugador. Es el equivalente a una ficha de casino del mínimo valor que el jugador esté dispuesto a apostar (por ejemplo 5€).

Si el jugador utiliza un sistema de apuestas, la cantidad irá variando en cada mano. El jugador podrá apostar 1 unidad de apuesta, 2 unidades, 3.5 unidades, etc. Se utiliza la unidad de apuesta en vez de hablar de una cantidad de dinero concreta (para simplificar).

Téngase en cuenta que a unidad de apuesta mayor, más pérdidas para el jugador a largo plazo debido al margen de la casa. Si por el contrario dicho margen fuera negativo (a favor del jugador) entonces la situación sería la opuesta: a mayor unidad de apuesta, mayor ganancia.

Capital o bankroll

Es la cantidad de dinero con la que se afronta una sesión de juego, que irá variando según transcurran la partida. Se recomienda que este capital sea suficiente para que no se agote durante la sesión y aguante los altibajos que irá sufriendo.

El capital inicial se calcula en número de unidades de apuesta. Por ejemplo se puede comenzar a jugar con 20, 30, 100 unidades (o las que sean).

Debe ser una cantidad de dinero que en modo alguno sea gravosa para el jugador y pueda poner en peligro su economía personal. Una pequeña cantidad dedicada al entretenimiento.

 

Volatilidad

Una sesión de juego será una sucesión de manos o rondas en las que las ganancias y pérdidas se alternarán constantemente. De lo grandes que sean esas oscilaciones y la frecuencia con que se produzcan depende la volatilidad. Más volátil (y por tanto más riesgo) si esas oscilaciones son mayores y más frecuentes. Menos volátil (menos riesgo) si no es así.

Para medir la volatilidad se utiliza la desviación estándar, que es una medida estadística para medir la dispersión de valores respecto a la media. Se consideran dos ejemplos, el jugador rojo y el verde. La siguiente gráfica muestra sus pérdidas o ganancias en cada mano:

Ejemplo de volatilidad para dos jugadores

Claramente en el caso del jugador rojo la volatilidad es mayor, sus ganancias o pérdidas oscilan mucho más. Esto hay que tenerlo en cuenta pues mientras más oscile el capital el jugador más fácil es que pueda acabar en bancarrota o por el contrario ganar mucho. El riesgo de ruina aumenta pero la probabilidad de mayor ganancia final también.

Cuando se usa un sistema de apuesta la volatilidad se ve afectada. Los sistemas progresivos de apuesta no influyen en el margen de la casa pero sí en la volatilidad. A más rango de apuesta (por ejemplo 1-20 unidades de apuesta) más volatilidad porque más grandes serán las fluctuaciones del capital. Cuanto más varíe la apuesta de una mano a otra también, porque más frecuentes serán las fluctuaciones. Por ejemplo Martingale es un sistema que tiene mucha volatilidad dado que la apuesta se dobla cada vez que se pierde.

 

Riesgo de ruina

Es la probabilidad de perder todo el capital destinado a la sesión jugando un número determinado de rondas, por ejemplo perder 20 unidades de apuesta jugando 30 rondas. Cuantas más se jueguen, más riesgo. Y cuanta más volatilidad también, porque las fluctuaciones serán mayores y alguna de ellas puede que consuma todo el capital restante. Lo que implica también algo evidente: a menor capital mayor riesgo de ruina.

Si no se usa ningún sistema y se apuesta siempre una unidad, entonces esta tabla indica el riesgo para unas unidades determinadas jugando al Blackjack 25, 50 y 100 rondas (se usan reglas estándar)

 

 Unidades 5 10 15 20 25 30
25 rondas 29.21% 5.41% 0.47% 0.02% 0% 0%
50 rondas 37.33% 12.87% 3.42% 0.66% 0.1% 0%
100 rondas 43.24% 20.92% 9.54% 3.93% 1.31% 0.4%

 

Apuesta media

Es la media aritmética de todas las apuestas iniciales que ha hecho el jugador a lo largo de una sesión.

Por ejemplo, el jugador ha jugado 5 manos y con estas apuestas: 5, 20, 10, 30, 5. La apuesta media es:

(5+20+10+30+5) / 5 = 14.

Depende del sistema de apuestas que se esté utilizando, a mayor volatilidad, mayor apuesta media. Por tanto mientras más apuesta media más dinero se perderá (si el margen es a favor de la casa) o ganará (si es a favor del jugador) a largo plazo.

Probabilidad de obtener una ganancia

En general la probabilidad de obtener una ganancia G utilizando un capital inicial B es: B / (B + G)

Por ejemplo, si se tiene un capital inicial de 100 y se quiere obtener una ganancia de 50 la probabilidad sería: 100/150 = 66.666%. El 33.33% restante es la probabilidad de perderlo todo. Esto es cierto para un juego que tenga margen cero. Con el margen favorable a la casa estas probabilidades bajan ligeramente.

¿Cuantas rondas o manos hay que jugar para conseguirlo? Todas las que sean necesarias hasta llegar al objetivo o bien quedarse sin capital. O todo o nada.

Puede parecer extraño que la probabilidad sea siempre la misma independientemente del sistema de apuesta que se utilice. Porque a mayor volatilidad mayor riesgo de ruina. Siendo eso cierto, también lo es que a mayor volatilidad más probabilidad de conseguir el objetivo en menor número de rondas. Lo que cambia es la duración de las partidas. La probabilidad de obtener el capital deseado es la misma, pero las partidas serán más largas (más rondas a jugar) o más cortas dependiendo del sistema usado. Si se quiere jugar más tiempo, mejor apostar el mínimo.

 

El criterio de Kelly (riesgo VS ganancia)

Teniendo en cuenta el capital que tiene, el jugador puede ser agresivo o conservador a la hora de elegir la cantidad de la apuesta.

Un jugador con un capital de 1000 que apuesta 200 cada vez, tiene un riesgo muy alto de ruina. Pero también la ganancia será muy alta si tiene suerte. En el otro extremo, si apuesta 1€ cada vez sabe seguro que no se va a arruinar pero la ganancia será pequeña.

El criterio de Kelly sirve para maximizar la ganancia a la vez que se minimiza el riesgo. Dependiendo del capital restante del jugador en cada momento, se calcula la apuesta óptima.

Sólo hay un problema. Si el margen no está a favor del jugador el criterio de Kelly recomienda no apostar. O si se quiere seguir jugando, apostar el mínimo. Sólo vale para situaciones en las que el jugador tiene ventaja, como el Blackjack cuando se cuentan cartas.

En esos casos la apuesta óptima se obtiene mediante la fórmula: Margen actual / ganancia posible en unidades de apuesta.

El margen tiene que ser siempre positivo a favor del jugador, como se ha dicho. Por ejemplo un contador de cartas puede tener en un momento determinado un margen a favor del 1%.

La ganancia posible varía. El jugador no siempre gana o pierde una unidad. Por ejemplo en el Blackjack depende de si ha doblado, abierto, retirado, etc. Para medir esto se utiliza otra variable estadística: la varianza, que es el cuadrado de la desviación estándar. La desviación estándar en el Blackjack suele estar en torno a 1.15, por tanto la varianza sería 1.32.

La fórmula de Kelly para este caso es (0.01/1.32) = 0.007 o 0.7%. El jugador debe apostar el 0.7% de su capital cuando tiene un 1% de ventaja. Si el capital actual fuesen 1000€ la apuesta óptima sería 7€.

 

Temas avanzados: Más sobre la desviación estándar

¿Cómo se calcula la desviación estándar? Está es la fórmula:

Fórmula de la desviación estándar

Donde:

  • M es la media aritmética de los valores
  • X es cada valor
  • N es el número de valores.

 

Proceso:

  1. Lo primero es calcular la media, en el ejemplo del caso de arriba (jugador verde) es: (1-2+4+0-1+2-2+1+0) / 9 = 0.333
  2. La parte superior del quebrado sería:  (1-0.333)2 + (-2-0.333)2 + (4-0.333)2  + (0-0.333)2 + (-1-0.333)2 + (2-0.333)2 + (-2-0.333)2 + (1-0.333)2 + (0-0.333)2 = 30.62
  3. Dividiendo entre N: 30.62 / 9 = 3.40
  4. Y finalmente la desviación estándar resulta de tomar la raiz cuadrada del resultado = 1.84.

En el caso del jugador rojo es (se omiten los cálculos):  9.83.

La desviación estándar es muy útil para calcular cuantas unidades de apuesta se pueden perder o ganar jugando un determinado número de rondas. Para eso hace falta conocer la desviación estándar en el juego al que estemos jugando. El siguiente ejemplo es para el Blackjack.

Se van a considerar las siguientes reglas:

  • blackjack paga 3 a 2
  • el crupier se planta con todos los 17s
  • se puede doblar después de abrir
  • se permite la retirada
  • se puede abrir hasta cuatro manos

 

Al terminar una ronda, se pueden haber ganado 1, 1.5, 2, 3, 4, 5, 6, 7 u 8 unidades.

  • 8 unidades en el mejor de los casos, si ha abierto hasta 4 manos, ha doblado en todas y ha ganado
  • 6 unidades si ha abierto hasta 3 manos, ha doblado en todas y las gana
  • 5 si ha abierto hasta tres manos, ha doblado sólo en dos y gana todas
  • 1.5 unidades si ha obtenido blackjack

 

Y así sucesivamente se explicarían el resto de casos.

Respecto a las pérdidas, estas pueden ser desde 0.5 unidades (si el jugador se retira) hasta 8 unidades por las causas de doblar y abrir explicadas anteriormente.

Así pues las ganancias del jugador irán oscilando entre -8 y +8 unidades a lo largo de las rondas. Teniendo eso en cuenta y sabiendo las posibilidades de que ocurran todas las combinaciones de ganancias o pérdidas anteriores, la desviación estándar es de 1.15 (se omiten los cálculos) con esas reglas.

 

¿De qué sirve saber esto?

Cuando la distribución gráfica de las ganancias o pérdidas es de tipo normal y tiene forma de campana de Gauss (como la que se vio en el apartado la casa gana) se puede usar la desviación estándar para estimar ganancias y probabilidades del jugador.

Distribución del capital en muchas simulaciones

En esta gráfica se ve que los casos más frecuentes son terminar con pocas pérdidas o ganancias (parte central de la gráfica) y en ocasiones más esporádicas perder mucho o ganar mucho. Es una gráfica simétrica con forma de campana de Gauss. Sólo si la gráfica tiene esta forma se puede usar la desviación estándar para calcular lo que se explica en los apartados siguientes.

 

Capital que se puede ganar o perder después de un número de manos

Se puede calcular mediante la siguiente fórmula:

apuesta media x desviación estándar x número de desviaciones x √número de manos

Ejemplo:

100 manos y 5€ por apuesta: 5 x 1.15 x 1 x √100 =57.5€ de ganancias o pérdidas.

Pero dado el margen de la casa, hay que partir de la pérdida esperada = 100 x 5 x 0.005 (margen) = 2.5

Así, se parte de -2.5 € de pérdida media y el capital real perdido estará entre (-2.5 – 57.5) y (-2.5 + 57.5). El jugador conseguirá al final de las 100 rondas una ganancia o pérdida que estará entre -60€ y +55€. Como el capital inicial es 100, no parece que pueda arruinarse.

Pero eso es considerando una sola desviación estándar, lo que ocurrirá la mayoría (68.2%, las dos franjas centrales de la gráfica, obtenida de Wikipedia) de las veces según la distribución normal:

Campana de Gauss

Para saberlo con más seguridad (un 95% de las veces, las cuatro franjas centrales de la gráfica) hay que aplicar dos desviaciones estándar en vez de una: (-2.5 – 115) y (-2.5 + 115), es decir el jugador conseguirá al final de las 100 rondas una ganancia o pérdida que estará entre -117.5€ y 112.5€. Ahora ya existe riesgo de ruina empezando con 100€.

Y ya casi con absoluta certeza (un 99.8% de las veces, las seis franjas centrales de la gráfica) se consideran 3 desviaciones estándar: (-2.5 – 172.5) y (-2.5 + 172.5). El jugador conseguirá al final de las 100 rondas una ganancia o pérdida que estará entre -175€ y 170€.

Una de las aplicaciones de la desviación estándar, como se ve, es calcular el riesgo de ruina. Dado que lo máximo que puede perder el jugador son 175€, 180 serían suficientes para no arruinarse (36 unidades de apuesta). Por supuesto, esto el 99.8% de las veces. El 0.2% restante se perderá más de eso.

 

Probabilidad de obtener un beneficio en un número de manos

También es posible calcular lo contrario: probabilidades de obtener un determinado beneficio o pérdida.El ejemplo más sencillo sería cuando se quiere saber la probabilidad de que la ganancia esté a una desviación estándar o más. No se va a considerar al margen de la casa para simplificar.

Según se vió antes, usando una desviación estándar se obtendrá un beneficio (o pérdida) de 57.5€. Con lo cual la probabilidad de ganar o perder 57.5€ o más será la superficie coloreada de la gráfica:

Probabilidades para la parte derecha de la campana de Gauss

Visualmente se ve que la suma será: 13.6 + 2.1 + 0.1 = 15.8%. Pero no siempre es tan fácil de calcular, por ejemplo cuando se usan decimales (calcular la probabilidad de obtener 1.67 desviaciones estándar o más).

Para ello se usa la siguiente tabla:

Probabilidades para diversas desviaciones estándar

 

Las filas dan la precisión con el primer decimal y las columnas con el segundo. Por ejemplo, para calcular la probabilidad con 1.67 desviaciones estándar, hay que buscar la fila del 1.6 y la columna del x.x7, en este caso es 0.0475 = 4.75%

 

Ejemplo real

Se va a ver ahora un ejemplo más complejo y real. Se trata de calcular la probabilidad de obtener 100€ de beneficio o de pérdidas jugando 100 partidas, con una unidad de apuesta de 5€ y un margen de la casa de 0.5%.

Hay que ver a cuantas desviaciones estándar está el beneficio o pérdida que se quiere obtener. Pero en este caso hay que tener en cuenta el margen de la casa y por tanto el beneficio o pérdida esperada.

Esto ya se calculó antes: 100 x 5 x 0.005 (margen de la casa) = 2.5 de pérdida esperada.

Probabilidad de ganar 100 realmente es la probabilidad de ganar 100 + 2.5 que se van a perder, entonces es la probabilidad es la de ganar 102.5€. Probabilidad de perder 100 es la probabilidad de perder 97.5€.

En el primer caso, ¿a cuantas desviaciones estándar está 102.5?

102.5 / 57.5 (1 desviación estándar) = 1.78

Según la tabla anterior la probabilidad de obtener 1.78 desviaciones estándar o más es: 0.0375 (3.75%)

En el segundo caso, ¿a cuantas desviaciones estándar está 97.5?

97.5 / 57.5 = 1.69

Según la tabla anterior la probabilidad de obtener 1.69 desviaciones estándar o más es: 0.0455 (4.55%)

La probabilidad de perder es más alta que la de ganar, esto sería al revés si el margen de la casa fuese negativo (favorable al jugador).

Todo lo expuesto en este apartado sirve para saber la ganancia o pérdida jugando un número concreto de manos. No es lo mismo que lo explicado en un apartado anterior referente a la probabilidad de obtener una ganancia partiendo de un capital determinado (independientemente del número de manos que se jueguen).